Berry Phase / Fase geometrica

Premi Play e guarda soprattutto la forma, non la traiettoria. Partiamo dal primo stato eccitato di una trappola armonica 2D quasi isotropa. Una piccola anisotropia quadrupolare ruota lentamente: i due lobi della densità seguono l'asse morbido della trappola.

Il ciclo è chiuso nello spazio dei parametri. I due coefficienti q1 e q2 descrivono un cerchio: q1=A cos(theta), q2=A sin(theta). Il punto q1=q2=0 è la degenerazione del doppietto eccitato. Dopo un giro completo il potenziale è esattamente tornato a quello iniziale.

La sorpresa. Anche se |psi|^2 torna praticamente identica, lo stato quantistico non deve tornare con la stessa fase. Per il primo stato p-like, un loop che circonda una volta la degenerazione produce nel limite adiabatico una fase geometrica di pi: la funzione d'onda cambia segno.

Analysis -> Berry. Il grafico superiore mostra il loop (q1,q2) e la posizione corrente. Quello inferiore mostra la fidelity di ritorno |<psi(0)|psi(t)>|^2 e la fase geometrica ottenuta direttamente dalla vera psi 2D tramite trasporto parallelo discreto (prodotto degli overlap consecutivi). Nessun secondo solver evolve lo stato.

Perchè non basta guardare la densità. Una fase globale non compare in |psi|^2. Qui la estraiamo confrontando coerentemente la fase lungo l'intero percorso. A metà ciclo lo stato ruotato può essere quasi ortogonale allo stato iniziale, quindi la fase rispetto al solo riferimento iniziale non è sempre definita; il prodotto di Pancharatnam/Bargmann conserva invece l'informazione geometrica del percorso.

Prova fondamentale. Il default usa Duration=240. Riducila molto: il moto diventa non adiabatico e la fase finale si allontana da 180 gradi. Aumentala: la fidelity finale tende a 1 e la fase geometrica converge verso pi. Cambia Winding per invertire il verso del loop: +pi e -pi sono la stessa fase modulo 2pi, ma il percorso si inverte.

Storia. Pancharatnam introdusse nel 1956 una fase geometrica per stati di polarizzazione; Longuet-Higgins e collaboratori mostrarono nel 1958 il cambio di segno della funzione d'onda attorno a degenerazioni molecolari. Michael Berry formulo' nel 1984 la fase geometrica quantistica acquisita da un autostato durante un ciclo adiabatico, chiarendo il ruolo generale delle degenerazioni nello spazio dei parametri.

Scala reale indicativa. Il dock Time usa una trappola per atomi ultrafreddi come riferimento d'ordine di grandezza. In laboratorio la fase di Berry viene letta interferometricamente; qui l'Explorer può calcolarla direttamente dalla funzione d'onda numerica completa.

Limite del modello. È un oscillatore armonico ideale con deformazione quadrupolare coerente, senza rumore o decoerenza. La fase mostrata a velocità finita è la fase geometrica del percorso reale di psi; coincide con la Berry phase adiabaticamente solo quando il ciclo è sufficientemente lento.